Risolvere problemi di matematica con l'IA

Rispondo punto per punto, usando gli strumenti della combinatoria (permutazioni con e senza ripetizioni).

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1. Anagrammi della parola “STUDIARE”

La parola STUDIARE ha le lettere:

• S, T, U, D, I, A, R, E

Sono in tutto 8 lettere tutte diverse.

Il numero di anagrammi (anche senza significato) è il numero di permutazioni di 8 oggetti distinti:

$$8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320$$

Risultato: gli anagrammi di “STUDIARE” sono $40320$.

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2. Anagrammi di “STUDIARE” che contengono consecutivamente “ARTE”

Ora vogliamo contare solo gli anagrammi di “STUDIARE” in cui compaia, in quattro posizioni consecutive, la sequenza di lettere A-R-T-E, nell’ordine esatto, come nell’esempio “SUARTEDI”.

Idea fondamentale

Consideriamo il blocco “ARTE” come un’unica “super-lettera”.

Le lettere di “STUDIARE” sono:

• blocco “ARTE”
• S, U, D, I

Quindi abbiamo in totale 5 oggetti distinti da permutare:

$$\{\, \text{ARTE},\, S,\, U,\, D,\, I \,\}$$

Il numero di permutazioni di 5 oggetti distinti è:

$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$

In ognuna di queste permutazioni:

• il blocco “ARTE” resta interno sempre nella forma A–R–T–E (non lo permutiamo, perché la parola da leggere deve essere “ARTE”, non un’altra combinazione di quelle quattro lettere),
• le altre lettere S, U, D, I possono occupare liberamente le restanti posizioni.

Un altro modo per vederlo (equivalente):

• il blocco “ARTE” può occupare una qualunque delle 5 possibili posizioni (inizia in posizione 1, 2, 3, 4 oppure 5),
• le altre 4 lettere S, U, D, I si possono disporre nelle restanti 4 posizioni in $4!$ modi.

Quindi:

$$\text{n. anagrammi con “ARTE”} = 5 \cdot 4! = 5 \cdot 24 = 120$$

che coincide con $5!$.

Poiché ogni lettera di “ARTE” compare una sola volta in “STUDIARE”, non è possibile che compaiano due volte la parola “ARTE” nello stesso anagramma; quindi non c’è rischio di doppio conteggio.

Risultato: gli anagrammi di “STUDIARE” in cui compare consecutivamente “ARTE” sono $120$.

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3. Anagrammi della parola “VACANZA”

La parola VACANZA è formata dalle lettere:

• V, A, C, A, N, Z, A

Sono 7 lettere, ma con ripetizioni:

• A compare 3 volte,
• V, C, N, Z compaiono 1 volta ciascuna.

Il numero di anagrammi di una parola con lettere ripetute si ottiene con la formula delle permutazioni con ripetizioni:

$$\text{n. anagrammi} = \frac{n!}{m_1! \, m_2! \, \cdots}$$

dove:

• $n$ è il numero totale delle lettere,
• $m_i$ sono le molteplicità delle lettere ripetute.

Nel nostro caso:

• $n = 7$ (lettere totali),
• l’unica lettera ripetuta è A, che compare 3 volte, quindi $m_1 = 3$.

Pertanto:

$$\text{n. anagrammi di “VACANZA”} = \frac{7!}{3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5040}{6} = 840$$

Risultato: gli anagrammi di “VACANZA” sono $840$.

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Risposte finali riassunte

• Anagrammi (anche senza significato) di “STUDIARE”:
  $40320$

• Di questi, quelli in cui compare consecutivamente “ARTE”:
  $120$

• Anagrammi (anche senza significato) di “VACANZA”:
  $840$